Spektral teori diferansiyel operatörler için önemli kavramlardan biridir. Bazı uygulamalı bilimlerde fizikte, matematikte ve mühendislikte karşımıza çıkmaktadır.
Diferansiyel operatörün öz fonksiyonlarının ve spektrumunun aranması, verilen bir fonksiyonun bu operatörün öz fonksiyonlarına göre ayrışımının incelenmesine düz spektral problem adı verilir. Verilen belirli dizilere göre spektral karakteristikleri bu diziler olan operatörün inşasına ise ters problem adı verilir.
Mühendislikteki birçok problem ters problemlere indirgenmektedir. Örneğin; Elektronik mühendisliğinde Sürekli faz modülasyonunun yeni çözümlemeleriyle güç, bant genişliği ve hesapsal etkili, sabit zarflı sayısal haberleşme sistemlerinin tasarımı Mekanikte verilen dalga boylarına göre homojen olmayan yayda yoğunluk dağılımının öğrenilmesi, parçacıkların enerji seviyelerine göre parçacıklar arasındaki etkileşim kuvvetlerinin belirlenmesi; kuantum fiziğinde saçılma verilerine göre alan potansiyellerinin bulunması; jeofizikte yer altı madenlerinin yer altındaki elementlerin dağılım karakteristiklerine göre belirlenmesi; ters problem örnekleri olarak verilebilir.
Literatürde;
ikinci mertebeden diferansiyel denklemine Sturm-Liouville denklemi, bu denklem veya bu denklem ve farklı birtakım sınır koşulları tarafından üretilen operatörlere Sturm-Liouville operatörleri, bu operatörler için konulan spektral problemlere ise Sturm-Liouville problemi adı verilmektedir.
Sturm-Liouville operatörlerinin spektral teorisi ile ilgili ilk sonuçlar Bernolli, D’Alembert, Euler, Sturm ve Liouville’ye aittir. Sturm (1836) ve Liouville (1836), belirli koşullar altında (0.1) denklemi ve belli sınır koşullarını sağlayan sıfırdan farklı fonksiyonlarının varlığını sağlayan sayılarınınn, yani özdeğerlerin, ayrık bir küme oluşturduğunu ispatlamışlardır. Diferansiyel operatörler regüler ve singüler olmak üzere tanımlanmış ve bu operatörlerin spektral teorisi yapılandırılmıştır. Tanım bölgesi sonlu ve katsayıları sürekli fonksiyonlar olan diferansiyel operatörlere regüler diferansiyel operatör, tanım bölgesi sonsuz veya katsayılardan bazıları veya tamamı toplanabilir olmayan veya her iki durumda sağlanacak şekildeki diferansiyel operatörlere singüler diferansiyel operatör denir. Diferansiyel denklemler için ters problemler teorisinin başlangıcı sayılan ilk çalışma Ambartsumyan’a aittir. 1929 yılında Ambartsumyan tarafından Sturm-Liouville operatörleri için ters problemlerle ilgili aşağıdaki teorem ispatlanmıştır:
Teorem (Ambartsumyan, 1929). , aralığın da gerçel değerli sürekli fonksiyon olmak üzere ‘ler
probleminin özdeğerleri olsun. Eğer ise dır.
Ambartsumyan’ın bu çalışmasından sonra ters problemler teorisinde çeşitli problemler ortaya çıkmış ve bu tip problemlerin çözümü için farklı yöntemler verilmiştir. Bu problemlerle ilgili en önemli sonuçlardan birisi Borg’a aittir ve elde ettiği sonuç, aşağıdaki teoremle ifade edilebilir:
Teorem (Borg, 1945) ‘ler (0.2) deki diferansiyel denklemi ve
sınır koşulları ile verilen problemin ‘ler ise deki diferansiyel denklemi ve
sınır koşulları ile verilen problemin özdeğerleri olsun. O halde ve dizileri, fonksiyonu ve ve sayılarını tek olarak belirtir ( ve ve sonlu gerçel sayılardır.).
Borg’un bu çalışmasında ve dizilerinin, verilen operatörün farklı özdeğerleri (spektrumları) olduğu varsayılır ve operatör bu diziler yardımıyla belirlenir, yani bu tip operatörün varlığı önceden kabul edilir. Borg aynı çalışmada, bu tip diferansiyel operatörün tek olarak belirlenebilmesi için spektrumunun yeterli olmadığını göstermiştir. O yüzden de , Ambartsumyan’ın sonucu istisna bir durum olarak düşünülmektedir.
Ters problemlerin çözümünde önemli bir araç ise dönüşüm operatörleri olmuştur. Bu kavramı J. Delsarte (1938), J. Lions (1957) ve B. M. Levitan (1964) yaptıkları çeşitli çalışmalarda kullanmışlardır.
G. Sh. Guseinov (1984) çalışmasında olmak üzere
regüler diferansiyel denklemini ele almıştır. Guseinov bu çalışmasında verilen başlangıç koşullarını sağlayan çözümler için integral gösteriliminin varlığını ispatlamış ve integral gösterilimindeki çekirdek fonksiyonun sağladığı bir takım özellikler elde etmiştir.
XIX. yüzyılın sonlarında ayrık spektruma sahip ve uzayın tamamında tanımlı operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı, özellikle kuantum mekaniğinde çok önem taşımaktadır. Birinci mertebeden iki denklemin regüler sistemleri daha sonraki yıllarda ele alınmıştır. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl tarafından incelenmiştir. Weyl fonksiyonu ilk olarak H. Weyl (1910) tarafından literatüre katılmıştır. Weyl’in adıyla anılan fonksiyonu öncelikle singüler problemler için Sturm-Liouville teorisinde standart bir araç olmuştur. Daha sonra regüler problemlerde detaylıca çalışılmıştır.
L problemini aşağıdaki şekilde tanımlayalım;
sınır değer problemi ele alınmıştır. Burada spektral parametre, , , . Ayrıca , , ve
to be , reel sayılardır.
Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville Denklemi, Difüzyon Denklemi, Integral Denklem
|
