Diferansiyel operatörlerin spektral teorisi düz spektral problemler ve ters spektral problemler olmak üzere ikiye kısımda incelenir. Bir diferansiyel operatör verildiğinde operatörün spektrumunun ve öz fonksiyonlarının aranması ve verilen bir fonksiyonun bu operatörün öz fonksiyonlarına göre ayrışımının incelenmesine düz spektral problem denir.
Sturm-Liouville operatörlerinin spektral teorisi ile ilgili ilk sonuçlar Bernolli, D’Alembert, Euler, Sturm ve Liouville’ye aittir. Sturm (1836) ve Liouville (1836), belirli koşullar altında (0.1) denklemi ve belli sınır koşullarını sağlayan sıfırdan farklı fonksiyonlarının varlığını sağlayan sayılarınınn, yani özdeğerlerin, ayrık bir küme oluşturduğunu ispatlamışlardır.
Diferansiyel operatörler regüler ve singüler olmak üzere iki kolda tanımlanmış ve bu operatörlerin spektral teorisi yapılandırılmıştır. Tanım bölgesi sonlu ve katsayıları sürekli fonksiyonlar olan diferansiyel operatörlere regüler diferansiyel operatör, tanım bölgesi sonsuz veya katsayılardan bazıları veya tamamı toplanabilir olmayan veya her iki durumda sağlanacak şekildeki diferansiyel operatörlere singüler diferansiyel operatör denir. XIX. yüzyılın sonlarında ikinci mertebeden diferansiyel operatörler için sonlu aralıkta regüler sınır şartları sağlanacak şekilde adi diferansiyel operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı G.. D. Birkoff tarafından incelenmiştir. Ayrık spektruma sahip ve uzayın tamamında tanımlı operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı, özellikle kuantum mekaniğinde çok önem taşımaktadır. Birinci mertebeden iki denklemin regüler sistemleri daha sonraki yıllarda ele alınmıştır. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl tarafından incelenmiştir. İntegral denklemler teorisinde yapılan çalışmalarda, lineer cebir problemleri ve titreşim teorisi problemleri arasındaki benzerlikten faydalanan ilk olarak Hilbert olmuştur. Bunların sonucu olarak önce l2 uzayı sonrada genel Hilbert uzayı kavramları kurulmuştur. H Hilbert uzayı tanımlandıktan sonra lineer self adjoint operatörler teorisi hızla gelişmeye başlamıştır. Daha sonra Rietsz, Neumann, Friedrichs ve diğer matematikçiler tarafından simetrik ve self-adjoint operatörlerin genel spektral teorisi oluşturulmuştur.
İkinci mertebeden singüler operatörlerin spektral teorisine yeni bir yaklaşımı 1946 yılında Titchmarsh vermiştir. Doğru ekseninde tanımlı azalan (artan) potansiyelli
Sturm-Liouville operatörleri için özdeğelerin dağılımı formülü Titchmarsh tarafından bulunmuştur. Son yıllarda bu operatörlere bir boyutlu potansiyelli Schrödinger
denkleminde denir. Aynı zamanda bu çalışmada Schrödinger operatörü için özdeğerlerin dağılım formülü de verilmiştir.
Singüler diferansiyel operatörlerin incelenmesine ilişkin ve diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde önemli bir yere sahip olan çalışmalar, 1949 yılında Levitan tarafından yapılmıştır. Levitan bu çalışmalarında spektral teoriyi esaslandırmak için önemli bir yöntem vermiştir. Farklı singüler durumlarda diferansiyel operatörlerin spektral teorisi, özellikle özdeğerlerin, özfonksiyonların asimptotiğine ve öz fonksiyonların tamlığına ilişkin konular Courant, Carleman, Birman, Salamyak, Maslov, Keldych vs. matematikçiler tarafından geliştirilmiştir.
II. mertebeden lineer diferansiyel operatörler için ters problemler teorisinde bir sonraki en önemli aşamalardan birisi V.A.Marchenko tarafından kaydedilmiştir. 1950 yılında V.A.Marchenko ters problemlerin çözümünde Sturm-Liouville operatörünün spektral fonksiyonundan yararlanmıştır.
Klasik sınır değer probleminin yanı sıra süreksiz sınır değer probleminin incelenmesi, hem matematiksel fiziğin yeni somut problemlerine çözüm sunmakta hem de teorik matematiğin gelişimine katkı sağlamaktadır. Aralığın iç noktasında süreksizliğe sahip sınır değer problemlerinde matematikte, fizikte, jeofizik ve doğa bilimlerinin birçok dalında sıklıkla karşılaşılan problemlerdir. Genel olarak bu problemler süreksiz materyal özellikleri ile bağlantılıdır. Örneğin; elektronikte elektrik hattının parametrelerinin belirlenmesi için süreksiz ters probleme başvurulur. Bir başka örnek de yeryüzünün salınımı için jeofizik modellerdir. Buradaki süreksizlik yer kabuğunun temelindeki kesme dalgalarının yansıması ile ilgilidir.
Aralığın iç noktasında süreksizlik koşullarına sahip Sturm-Liouville operatörleri ile ilgili ilk çalışma H.Hald’ aittir.(Hald, O. 1984). Bu çalışmada Hald, klasik sınır koşulları altında düz ve ters spektral problemi incelemiş ve operatörün bir özdeğer dizisinin ve aralığın ilk yarısında fonksiyonunun bilinmesi halinde operatörün tek olarak belirlenebileceğini göstermiştir.
J. F. Brasche, M. Malamud ve H. Neidhardt (2002), simetrik operatörün self adjoint genişlemelerinin Weyl fonksiyonlarını karakterize etmişlerdir.
P. A. Binding, P. J. Browne, B. A. Watson (2004), sınır koşulunda rasyonel parametre olan Sturm-Liouville problemi için Wely fonksiyonunun problemi tek türlü belirlediğini
Spektral parametreye bağlı sınır koşulları Sturm-Liouville’in zamanından önce S.D. Poisson(1820) tarafından incelenmiştir. M. A. Naimark, ‘ Linear Differantial Operators’(1968) kitabında sınır koşullarının parametreye bağlı olduğu özdeğerler problemlerini tanımlamış ve bu tür problemleri genelleştirilmiş özdeğer problemleri olarak tanımlamıştır. Bu tip problemler genellikle (0.4) sınır koşullarının birinin veya her ikisinin katsayılarını parametrisine bağlı seçmekle elde edilir. Böyle sınır koşullu Sturm-Liouville operatörü için spektral problem ilk olarak C. T. Fulton(1977,1980) tarafından ele alınmıştır. Bu çalışmada Fulton, probleme karşılık gelen teorik operatörü tanımlayarak bu operatör yardımıyla, problemin özdeğerlerinin bazı önemli özelliklerini ( örneğin reel ve cebirsel olarak basit olması gibi ) elde etmiştir. N. J. Guliyev(2005) çalışmasında bir sınır koşulu parametreye linner şekilde bağlı Sturm-Liouville ters problemi için Gelfand-Levitan-Marchenko tipinde esas denklem elde ederek bu problemin tam çözümünü vermiştir. Ayrıca, O. Sh. Mukhtarov (1994), R.Kh. Amirov, B. Keskin, A. S. Özkan(2009) ve benzeri bir takım çalışma, lineer koşullarla ilgili düz ve ters spektral problemleri içermektedir. Bu çalışmaların bazılarında parametreye bağlı sınır koşullarının yanı sıra aralıkta süreksizlik koşulları da bulunmaktadır.
Şeklinde tanımladığımız problemi ele alalım. Burada spektral parametre, , , . Ayrıca , , ve
to be , reel sayılardır.
Anahtar Kelimeler: İntegral Denklem, Sturm-Liouville Denklemi, Difüzyon Denklemi
|
